Unità didattica di matematica:

I monomi

Requisiti:	- Conoscere gli insiemi numerici e le loro proprietà. - Conoscere le quattro operazioni e le loro proprietà. - Conoscere e saper operare con le potenze nell'insieme dei numeri reali (R).
Obiettivo:	Comprendere l'importanza della notazione letteraria e del calcolo letterale.
Target:	Studenti del biennio.

Il monomio: chi è costui?

Il monomio è il prodotto di quanti si vogliano fattori numerici e letterali.
Attenzione: gli esponenti dei fattori letterali devono appartenere a N {0, 1, 2, 3, ...}.

Verifichiamo insieme

Fai click su ciascuna espressione che ritieni sia un monomio.

2a+b
3
4a^-3b
x²y
2x/3y
(7/2)xyz
-4
(-2/7)x²a²(-y)
2^1/2x²
(xy)^1/2

Forma normale del monomio

Osserva attentamente i seguenti esempi:

1.) (-2)(a)(-5)(b²) = (-2)(-5)(a)(b²) = +10ab²
2.) 4(b)(7) = 4(7)(b) = 28b
3.) (2/5)(a²)(-b²)(1/3)(b) = (2/5)(-1)(1/3)(a²)(b²)(b) = -(2/15)a²b³

Come puoi osservare, applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, abbiamo sostituito ai fattori numerici il loro prodotto e ad ogni prodotto di fattori letterali, di eguale base, la corrispondente potenza.

Quindi

Ogni monomio può essere scritto come prodotto di una solo fattore numerico e di fattori letterali di basi diverse.
Questa è la forma normale di un monomio.

Verifichiamo insieme

Fai click su ciascun monomio che ritieni sia scritto in forma normale.

-2x²yx³
(4/7)xy
2(-5)(a²)(3)
2(a)(4)
4ba

Attenzione!!!
Tutto ciò che sarà di seguito esposto è da intendersi riferito ad un monomio scritto in forma normale

Parti di un monomio

In un monomio distinguiamo:
a.) il fattore numerico con il proprio segno = coefficiente
b.) il prodotto dei rimanenti fattori = parte letterale

Convenzioni

se il coefficiente è +1 si omette e si scrive solo la parte letterale.
Attenzione: lo si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0.

es. +1x²y = x²y

+1x⁰y⁰ = +1
se il coefficiente è -1 si scrive solo la parte letterale preceduta dal segno meno.
Attenzione: lo si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0.

es. -1a²b² = -a²b²

-1a⁰b⁰ = -1
se il coefficiente è 0 il valore del monomio è zero.

es. 0x²y³ = 0

0x⁰y⁰ = 0

Grado di un monomio

Grado complessivo di un monomio = somma degli esponenti delle sue lettere.

es. 2a³b⁵ grado complessivo 3+5 = 8

-3²a⁵b³c grado complessivo 5+3+1 = 9

Grado di un monomio rispetto ad una lettera = esponente di quella lettera.

es.	2a³b⁵	grado rispetto ad "a" = 3 grado rispetto ad "b" = 5
	-3²a⁵b³c	grado rispetto ad "a" = 5 grado rispetto ad "b" = 3 grado rispetto ad "c" = 1

Grado di un monomio rispetto ad una lettera che manca è zero

es. 2a³b⁵ grado rispetto ad "c" = 0
grado rispetto ad "d" = 0

Attenzione!!!
Al monomio nullo non si attribuisce alcun grado

Verifichiamo insieme

Fai click sulla risposta che ritieni corretta.

2⁴a³b⁸c	ha grado complessivo	8
	ha grado complessivo	11
	ha grado complessivo	12
	ha grado complessivo	16

... atto secondo

continua...

Monomi simili

Due o più monomi si dicono simili se hanno uguale tutta la parte letterale.

Verifichiamo insieme

Fai click su ciascuna risposta che ritieni corretta.

7x³yz²	è simile a	7x⁴yz²
	è simile a	-(1/3)x³yz²
	è simile a	5yx³z²
	è simile a	4y³xa

Monomi eguali

Due o più monomi sono uguali se hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale.

Verifichiamo insieme

Fai click sulla risposta che ritieni corretta.

(2/3)x²yz³b²	è uguale a	(-2/3)x²y³z³b²
	è uguale a	7x²yz³b²
	è uguale a	(2/3)x²yz³b²

Rifletti

e fai click sulla risposta corretta...

Due monomi uguali sono anche simili? Vero o Falso

Monomi opposti

Due o più monomi sono opposti se

hanno uguale la parte letterale (sono simili)
hanno il coefficiente opposto

Verifichiamo insieme

Fai click sulla risposta che ritieni corretta.

-3x²yz²	è opposto a	3x²yz
	è opposto a	2x²yz²
	è opposto a	-2x²yz²
	è opposto a	3x²yz²

Rifletti

e fai click sulla risposta corretta...

Due monomi opposti sono anche uguali? Vero o Falso
Due monomi opposti sono anche simili? Vero o Falso

... atto terzo

continua...

Operazioni con i monomi

Prima di iniziare questa sezione ti invitiamo a ritornare all'inizio di questo documento per rileggere attentamente la definizione di monomio.
Ti invitiamo a cliccare sulla parola "letterali"

Prova!

Bene. Avrai memorizzato che ai fattori letterali possono essere attribuiti solo valori razionali.
Sapresti individuare l'importanza di tale vincolo?
Fai click sulla risposta che ritieni esatta...
Perchè altrimenti non potremmo effettuare le operazioni con i monomi
Perchè altrimenti avremmo un numero non reale

Somma di monomi

Dati i monomi
3x² e -5x³
si definisce somma di essi, la funzione che associa ai due monomi l'espressione:
3x²+(-5x³) o anche 3x²-5x³
Osserviamo che in generale, la somma di due (o più) monomi non è un monomio, ma una funzione razionale.
Quindi la somma algebrica di due o più monomi, non si può che indicare scrivendo uno dopo l'altro i monomi addendi, ciascuno con il proprio segno.
Esempio:
Dati i monomi
5x²y; -3ax; (-4/5)xy²; 7ab
la loro somma è:
5x²y+(-3ax)+(-4/5)xy²+7ab
o più semplicemente
5x²y-3ax-4/5xy²+7ab

Ma

la somma di due o più monomi simili è un monomio che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi addendi, e come parte letterale la parte letterale comune a tutti i monomi.
Esempio:
Dati i monomi simili:
3x²y; -4x²y; 7x²y; -10x²y
la loro somma è
3x²y+(-4x²y)+7x²y+(-10x²y)
o più semplicemente
3x²y-4x²y+7x²y-10x²y
ed ancora, per quanto detto prima,
(3-4+7-10)x²y = -4x²y (monomio somma)
In ciò consiste la cosiddetta
Riduzione dei monomi simili

Osserva

7x²y+(-7x²y) =
= 7x²y-7x²y =
= (7-7)x²y =
= 0x²y =
= 0
La somma algebrica di monomi opposti è il monomio nullo.

Esercizio (sulla riduzione di monomi simili)

Passi da rispettare:

sottolineare con uno stesso segno tutti i monomi tra loro simili
raggruppare tutti i monomi simili
eseguire la somma algebrica dei coefficienti

Esercizio 1

Esercizio 2

Verifichiamo insieme

La somma dei segueni monomi
7xy - 4x²y + 5xy + 8x²y +3xy
è:
(fai click sull'espressione che ritieni esatta)
= (7 + 5 + 3)xy +(- 4 +8)x²y = 15xy + 4x²y
= (7 - 4 + 5 + 8 + 3)x²yxy = 21x²yxy

Moltiplicazione di due o più monomi

Il prodotto di due o più monomi, non nulli, è un monomio che ha:

il coefficiente uguale al prodotto dei coefficienti dei monomi dati
la parte letterale uguale al prodotto di tutte le lettere presenti nei singoli monomi, facendo attenzione ad applicare opportunamente le proprietà delle potenze.

Alla fine occorre trasformarlo in forma normaleEsercizio 1

Esercizio 2

Verifichiamo insieme

Fai click sul risultato che ritieni esatto:
[(2/3)a²b][(-9/8)a³b](4a⁴) =
= -3a⁹b²
= -3a²⁴b

Elevamento a potenza di monomi

Elevando ad una n-esima potenza un monomio, con n naturale, si ottiene un monomio che ha:

il coefficiente uguale al coefficiente del monomio dato elevato a n
parte letterale uguale alla parte letterale del monomio dato elevato ad n

Esempio 1:
(-5x²y³a)³ =
(-5)³(x²)³(y³)³(a)³ =
-125x⁶y⁹a³
Esempio 2:
[(2/3)x⁵y⁸z⁴]⁵ =
(2/3)⁵(x⁵)⁵(y⁸)⁵(z⁴)⁵ =
(32/243)x²⁵y⁴⁰z²⁰

Verifichiamo insieme

Fai click sul risultato che ritieni esatto:
(2 x⁴ y³)⁵ =
= 32 x⁹y⁸
= 32 x²⁰y¹⁵
= 32 xy²

Divisione di monomi

Dati due monomi (dividendo, divisore), non nulli, si definisce quoziente dei due, una espressione che ha:

come fattore numerico il quoziente dei coefficienti del monomio dividendo e del monomio divisore
come fattori letterali i fattori letterali dei due monomi aventi come esponente la differenza tra gli esponenti di ciascuna lettera del dividendo e l'esponente che la medesima lettera ha nel divisore.

Esempio 1

Esempio 2

Osserva:
i due monomi non presentano le stesse lettere: nel monomio 7x⁸y²z⁴ non è presente il fattore letterale "a", mentre nel monomio (-3)x⁸ya non è presente il fattore "z".
Facciamo in modo che essi presentino le stesse lettere.
Come?
Moltiplicamo ogni monomio per la lettera mancante elevata a zero.
Sarai d'accordo che ciò non altera i monomi (infatti qualsiasi numero elevato a 0 è uguale a 1) e quindi non altera l'operazione.
Avremo così:
7x⁸y³z⁴a⁰ : (-3)x⁸yz⁰a
Prima di procedere è importante notare che si deve rispettare l'ordine nella sottrazione degli esponenti delle lettere:
[7/(-3)]x^8-8y^3-1z^4-0a^0-1 =
= (-7/3)x⁰y²z⁴a^-1 =
= (-7/3)y²z⁴a^-1
sottoforma di frazione = (-7y²z⁴)/(3a)
Attenzione! Questo risultato non è un monomio, perchè l'esponente del fattore "a" è negativo (per ulteriori informazioni ritorna alla definizione di monomio).
Quindi:
non sempre la divisione tra due monomi dà per quoziente un altro monomio; quando invece accade, i monomi si dicono divisibili. Per essere più rigosi:
dati due monomi si dice che il primo (dividendo) è divisibile per il secondo (divisore) se esiste un terzo monomio (quoziente) tale che moltiplicato per il secondo dà per prodotto il primo (proprietà della divisione).
Riprendiamo l'esempio 1:

da questo si deduce:
(5xy⁶z)(2x³yz) = (5*2)xx³y⁶yzz = 10x⁴y⁷z².

In particolare:

ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da 0
esempio 1:
(-4/5)a³b⁴ : (-7) = (-4/5)a³b⁴ : (-7)a⁰b⁰ = (-4/5)(-1/7)a³b⁴ = (4/35)a³b⁴ (è un monomio!)
(i passaggi intermedi si possono evitare!!!)
esempio 2:
4x²y² : (-2/5) = 4(-5/2)x²y² = - 10x²y² (è un monomio!)
il quoziente di due monomi simili è un monomio (in cui mancano sempre le parti letterali). Infatti:
esempio 1:
(7/2)x²y³z² : (-4)x²y³z² = (7/2)(-1/4)x^2-2y^3-3z^2-2 = (-7/8)x⁰y⁰z⁰ = -7/8
(i passaggi intermedi si possono evitare!!!)
esempio 2:
(-20/3)a³b⁷c⁴ : 5a³b⁷c⁴ = (-20/3)(1/5) = -4/3
il quoziente di due monomi uguali è 1.
esempio:
4x²y² : 4x²y² = (4:4)x^2-2y^2-2 = 1x⁰y⁰ = 1
il quoziente di due monomi opposti è -1.
esempio:
-4x²y² : 4x²y² = (-4:4)x^2-2y^2-2 = -1x⁰y⁰ = -1

Verifichiamo insieme:

Fai click sul risultato che ritieni esatto:
20x³y : (-5x²y) =
= 4xy
= -4xy
= -4x
= 4x
Fai click sul risultato che ritieni esatto:
(2/5)x⁴y⁴ : [(-2/5)xz²] =
= x³y⁴z^-2
= -x³y³z
= x⁵y⁴z²
= -x³y⁴z^-2
Il monomio 20a⁸b⁶ per quale monomio è divisibile?
Fai click sul monomio che ritieni esatto
= 5a³b
= 4a⁹b³

... atto quarto

continua...

Sei finalmente giunto al termine di questa unità didattica.

Hai potuto ripassare le principali regole che disciplinano i monomi e le operazioni tra di essi.

Nel corso del ripasso hai avuto anche l'occasione di verificare le tue conoscenze tramite piccoli esercizi, al termine dei quali hai ottenuto un determinato punteggio. Se hai completato tutti gli esercizi puoi ricevere una valutazione globale premendo il pulsante qui sotto.

... atto quinto

es.	2a³b⁵	grado complessivo 3+5 = 8
	-3²a⁵b³c	grado complessivo 5+3+1 = 9

es.	+1x²y = x²y
	+1x⁰y⁰ = +1

es.	-1a²b² = -a²b²
	-1a⁰b⁰ = -1

es.	0x²y³ = 0
	0x⁰y⁰ = 0